חידות

נתון משולש כללי ABC.

בניית עזר (כמו בסרטוט):
* נעביר אנך אמצעי לצלע AB מהנקודה P.
* נעביר חוצה זווית מהנקודה C.
* נסמן את נקודת החיתוך שלהם ב-M.
* מהנקודה M, נעביר אנך MQ לצלע AC.
* מהנקודה M, נעביר אנך MR לצלע BC.
* נעביר קטעים AM ו- BM.

מסקנה 1:
ΔCMQ ≅ ΔCMR  (לפי ז.צ.ז)

ולכן:
(*1) CQ = CR
(*2) QM = RM

מסקנה 2:
ΔABM הוא שווה-שוקיים (PM גם אנך וגם תיכון)

ולכן:
(*3) AM = BM

מסקנה 3:
ΔAMQ ≅ ΔBMR   (לפי צ.צ.ז)
(נובע מ: (*2), (*3) וזווית Q=R=90.)

ולכן:
(*4) AQ = BR

מסקנה 4:
(*5) AC = BC
(נובע מ: (*1)  ו- (*4).)

ולכן, 
ΔABC הוא שווה-שוקיים.

א. כיצד הוכח שכל משולש הוא שווה-צלעות?

ב. מהי הטעות בהוכחה ?